作者：量子学派
哥廷根是德国萨克森州的一座小城。它占地120平方千米，有13万居民。这座小有名气的“花都”，曾经是数学世界的“麦加”
古希腊几何学家阿波洛尼乌斯总结了圆锥曲线理论，一千多年后，德国天文学家开普勒才将其应用于行星轨道；高斯被认为最早发现非欧几何，半个世纪后，由他弟子创立的黎曼几何成为广义相对论的数学基础。伴随着杠杆原理、牛顿三大定律、麦克斯韦方程、香农公式、贝叶斯定理等，人类向蒸汽时代、电力时代、信息时代乃至人工智能时代徐徐迈进。
但向外延伸到黑洞、宇宙大爆炸等宏观领域，万有引力就有心无力了，远不如广义相对论。它只适合在低速、宏观、弱引力的地方征战驰骋，一旦跑到高速、宇观与强引力的场所就会不再适用。
在此基础上，欧拉最终确立了著名的“一笔画原理”，即一个图形可以一笔画的充分必要条件为：图形是连通图，以及奇点的个数为0或2。
60岁时，欧拉不幸双目失明，但他依旧运用强大的记忆力和心算能力，通过口述形式完成了四百多篇论文，独自创立了刚体力学、分析力学等新学科。 法国大数学家拉普拉斯曾感慨：“欧拉是所有人的老师。
“跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类，我相信，这是未来数学的任务。”伽罗瓦留下的这句话，直至今天，仍然像闪电一样划过夜空。
有人说伽罗瓦是人类历史上最具才华的数学大师，是天才中的天才，是被神所嫉妒的人，神害怕这样的人类存在，甚至不愿意看到与他有交往的人活着，于是想方设法地打击他、折磨他，直到他21岁决斗身亡。
法国数学家毕卡在评述19世纪的数学成就时，曾如是说：“就伽罗瓦的概念和思想的独创性与深刻性而言，任何人都是不能与之相比的。”回望五次方程问题的解决过程，群论、域论 13交相辉映，迂回曲折，也难怪当时学界顶级的审评大师们如坠云里雾中。
黎曼提出“高维空间”数学理论，古典世界的数学边界被拆除，他的伟大之处在于他引入高维概念后，所有传统数学的规律仍然自洽。他还推断出电力、磁力和引力都是由看不见的“皱褶”引起的，“力”本身并不存在，它只是由几何畸变引起的明显结果。如果细细品读，就会发现这与爱因斯坦提出的广义相对论非常相似。
他一生仅发表过10篇论文，但每篇论文都横跨各领域，是一位多领域的先锋开拓者。虽然黎曼不到40岁就去世了，但他仍然显示出惊艳众人的才华。
现在普遍使用于各大银行的是RSA公钥加密算法 9，其基于一个十分简单的质数事实：将两个大质数相乘十分容易，但是想要对其乘积进行质因数分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
，热力学第二定律也被推广到了更广阔的意义上，可以概括为宇宙的熵恒增，即熵增定律。
试想，整个宇宙的熵会一直增加，那么，伴随着这一进程，宇宙变化的能力将越来越小，一切机械的、物理的、化学的、生命的等多种多样的运动会逐渐转化为热运动。整个宇宙将会达到热平衡，温度差消失，压力变为均匀，熵值达到最大，所有的能量都成为不可再进行传递和转化的束缚能，宇宙都最终进入停滞状态，陷入一片死寂。
一句“熵增是宇宙万事万物自然演进的根本规律”，就可以把我们困于绝望之中
对物理这门艺术有着无上追求的玻尔兹曼，不拘泥于克劳修斯的熵增定律，在前者的基础之上开拓性地提出：孤立系统的熵不会自发减少的原因是熵高的状态出现的概率大。一切系统的自发过程总是从有序向无序演变，这实则也是一种从概率小的状态向概率大的状态的演变。自然界总是朝着概率更大的方向发展，这是热力学第二定律的本质。
用一个熵增，克劳修斯熵指明了热力过程的不可逆，玻尔兹曼熵却用统计语言对热力过程进行了定量评述。在克劳修斯的眼中，熵是一种宏观态，表示物质所含的能量可以做功的潜力，与热效率有关；而在玻尔兹曼眼中，熵幻化成了一种微观态，是能量在空间分布均匀性的量度，能量分布不均匀性越大，能量做功效率越大。
原本泾渭分明的两个世界，一个宏观极大世界，一个微观极小世界，在玻尔兹曼的手中被概率统计这一数学方法统一起来。虽然我们不能像量子力学那样精确描述每个个体的微观运动，但是可以从微观整体上描述宏观系统的许多行为，描绘整个宇宙面貌。
“落叶永离，覆水难收；死灰欲复燃，艰乎其力；破镜愿重圆，翼也无端；人生易老，返老还童只是幻想。”无论是克劳修斯熵，还是玻尔兹曼熵，似乎都以一种不可逆的增长态势迅猛发展。系统从小概率趋于大概率，从有序趋于无序，在熵达到极大值后归于沉寂
人在生命期限内，只有一直保持不稳定的状态，才能对抗熵的增加。对抗熵增也意味着人要让自身变得有序，如何变得有序呢？薛定谔提出：生物体新陈代谢的本质，是使自己成功地摆脱在其存活期内所必然产生的所有熵。人通过周围环境汲取秩序，低级的汲取秩序是求生存，即获取食物，靠吃、喝、呼吸和新陈代谢，这是生理需求；高级的汲取秩序则是增强自身技能，在与他人和社会的交往中获益。
维持负熵需要能量 但无论是低级汲取还是高级汲取，都是人为吸引一串负熵去抵消生活中产生的熵的增量，这是人类生存的根本：以负熵为食。
，有人评价说：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。
根据法拉第感应定律，变化的磁场会生成电场；根据麦克斯韦-安培定律，变化的电场又生成磁场。正是这不停地循环使电磁波能够自我传播，如图10-10所示。
完成了科学史上第二次伟大统一之后，麦克斯韦于1879年溘然长逝。也就在这一年，一个婴儿诞生了，这个婴儿名为爱因斯坦。
如果说17世纪是一部牛顿力学史，那么19世纪便是一部麦克斯韦电磁学史。 17世纪，牛顿定律催生出蒸汽机，机器首次取代人力，人类进入蒸汽时代。 19世纪，麦克斯韦方程组启迪了爱迪生等发明家，电取代蒸汽，人类进入电气时代。
1888年，赫兹实验里那束微弱的只有指缝大小的电火花，让光与电、电与磁处于电磁力的统一掌握之中，人类文明呈几何级迅猛前进。 比赫兹料想得更为惊人的是，在他死后的第七年，1901年，那束电火花又通过无线电报穿越大西洋，实现了全球的实时通信，人类跨入了一个崭新的信息时代。
13 大统一理论：又称为万物之理。理论上，宇宙间所有现象都可以用万有引力、电磁力、强相互作用力及弱相互作用力这四种作用力来解释。进一步研究四种作用力之间的联系与统一，寻找能统一说明四种相互作用力的理论或模型称为大统一理论。
这只猫说：“我不了解是什么力量在推动地球的旋转，但我知道推动整个社会运转的力量是金钱。”
更学术化的理解是，如果有波函数ψ是方程的解，Φ也是方程的解，那么经过归一化之后，ψ+Φ也可以是方程的解。但是你也要知道，3.1415926Φ+10086ψ也可以是方程的解，Φ-1024ψ也是方程的解。经过测量，系统就不再处于“叠加态”，而是会落到某一种，如ψ、Φ的“本征态”。本来有无限可能，而现在只有一种可能，这就是坍缩。
所谓湮灭，是指正反物质完全地由物质转变为能量，过程遵循E=mc2，而正反物质湮灭产生的能量有多大？我们回忆一下利用核反应前后质量之差所产生的核爆炸能量，再想想假如质量完全消失释放的能量规模
诺贝尔奖得主丁肇中曾这样说：“提到21世纪的物理学里程碑，我们首先想到三件事，一是相对论（爱因斯坦），二是量子力学（狄拉克），三是规范场（杨振宁）。
2000年，Nature评选过去1000年影响世界的物理学家，杨振宁是在世的唯一一个影响世界千年的物理学家。
经过现代粒子对撞实验和理论的发展，主流物理学已经达成共识，质子由两个上夸克和一个下夸克组成，中子由两个下夸克和一个上夸克组成，而这些夸克又有不同颜色。然而，要构建全面的夸克理论，必须假设有六种夸克，这些夸克组合成许多其他粒子。除了夸克组成的强子，还有轻子 4，轻子的种类和夸克一样，也是六种。夸克和夸克之间的强相互作用力又需要相应的交换粒子来传递，这些交换粒子称为规范玻色子（如胶子）。
爱因斯坦在1915年发表广义相对论之后，便开始了“大统一之梦”，希望通过一个公式来描述宇宙中的每一个细节，寻找一种统一理论来解释所有相互作用。
大统一理论又称为万物之理。由于微观粒子之间仅存在四种相互作用力：万有引力 7、电磁力（麦克斯韦完成）、强核力、弱核力。理论上，宇宙间所有现象也都可以用这四种作用力来解释，所以物理学家们一直相信这四种作用力应有相同的物理起源，它们在一定的条件下应能走到一起，相聚于同一个理论框架内。能统一说明这四种作用力的理论或模型，可以称为大统一理论
量子电动力学大师弗里曼·戴森在纪念爱因斯坦的著名演讲《鸟和青蛙》里这样评价杨振宁：这是一只鸟的贡献，它高高地飞翔在诸多小问题构成的热带雨林之上，我们中的绝大多数在这些小问题里耗尽了一生的时光。
2012年，科学家们发现希格斯粒子后，规范场论最后一个缺陷被弥补，它统一了目前自然界的四种基本力中的三种，爱因斯坦穷尽后半生追求的大统一理论——规范场论正在步步逼近。
C一定时，B与可以互换，即信道带宽和信噪比可以互相交换。也就是说，在传输速度不变的情况下，提高信道带宽可以容忍更低的信噪比，反之亦然。信道带宽和信噪比的互换是扩频通信的理论基石，通过增加信道带宽，我们甚至可以轻松应对小于0的信噪比。
LTCM利用从投资者处筹得的22亿美元资本作抵押，买入价值1250亿美元证券，然后以证券作为抵押，进行总值12500亿美元的其他金融交易，杠杆比率高达568倍。
这种必需品观念一直延续至今，美国权利法案的第二条明确规定：“组织良好的民兵队伍，对于一个自由国家的安全是必需的，人民拥有和携带武器的权利不可侵犯。
1963年，这篇论文被发表在《大气科学》杂志上，洛伦兹形象地将这个结论称为蝴蝶效应：一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由飘浮的云彩，以及花菜、树冠，甚至人体的大脑皮层和各种器官。
而混沌也并非纯粹的无序，其所呈现的无规行为或无秩序只是一种表面现象，若是深入它的内心，就能发现其深刻的规律性——分形。
南美洲亚马孙河流域的那只蝴蝶的行为虽然充满了随机不确定性，但它的内心同样遵循着秩序。美妙的洛伦兹吸引子，实际就是一个具有无穷结构的分形，它是混沌和分形的桥梁，提供了混沌从无序迈向有序的铁证。
20世纪初期，相对论和量子物理的发展打乱了经典力学建立的秩序。 相对论挑战了牛顿的绝对时空观，量子力学则质疑微观世界的因果律。 然而，直接挑战牛顿定律的，还要属南美洲的这只蝴蝶。 蝴蝶扇一扇翅膀，即刻在科学界刮起了一场飓风。相比起量子力学只揭示了微观世界的不可预测性，混沌理论在遵循牛顿定律的常规尺度下，就直指确定论系统本身也普遍具有内在的随机性。
大数定律有一个明显的潜台词：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率便趋近于预期的概率。但人们常常错误地理解为：随机意味着均匀。 如果过去一段时间内发生的事件不均匀，大家就会“人工”地从心理上把未来的事情“抹平”。也就是，如果输了第一把，那下一把的赢面就会更大。 这种你下一把就可以赢回来的强烈错觉，就是“赌徒谬论”。
贝叶斯的论文提出了一个似乎显而易见的观点：用新信息更新我们最初关于某事物的信念后，我们就会得到一个新的、改进了的信念。简单来说，就是经验可以修正理论。
自然语言处理就是让计算机代替人来翻译语言、识别语音、认识文字和进行海量文献的自动检索。一直以来，它都是科学家面临的最大难题，毕竟人类语言可以说是信息里最复杂、最动态的一部分，近几年引入贝叶斯公式和马尔科夫链后，它有了长足进步。
这样一种描述数据变量之间依赖关系的图形模式就是贝叶斯网络，它提供了一种方便的框架结构来表示因果关系，使不确定性推理的逻辑更为清晰，可理解性更强。这也是贝叶斯网络被称为概率网络、因果网络的原因。
6 后验概率：在得到“结果”的信息后重新修正的概率；是“执果寻因”问题中的“果”；是事情已经发生，要求这件事情发生的原因是由某个因素引起的可能性的大小。 7 先验概率：根据以往经验和分析得到的概率，它往往作为“由因求果”问题中“因”出现的概率，是事情还没有发生，要求这件事情发生的可能性的大小。 8 全概率：将对一复杂事件的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件概率的求和问题。
全概率公式：如果事件B1、B2、B3、…、Bn构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集，并且P ( Bi )大 于0，则对任一事件A有P(A )=P(A|B1) P(B 1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)。
公元1066年，一颗拖着长尾巴的古怪天体在夜空中缓缓划过，注视着人间即将上演的殊死一战。很快，黑斯廷斯的山冈上，英国国王哈罗德 1正带领着他的军队死死抵抗着诺曼人的入侵。这一夜，哀鸿遍野，血河流淌，英国终不敌诺曼人的强悍武力，只能痛苦地匍匐在敌人脚下俯首称臣，眼睁睁地看着入侵者趾高气扬地站上他们的王城之巅。
最简单的例子就是太阳系中太阳、地球和月球的运动。但没想到的是，这个从2到3看起来非常简单的数字跳转问题，却使牛顿头痛不已。像两个球那样有流畅曼妙的椭圆轨道的曲线没有了，牛顿在三体问题计算中，得到的曲线越走越远，杂乱无章的答案将牛顿带入失落的漩涡，三体为什么不能周而复始地运行下去呢？这个问题牛顿得不到答案，也没有人能为他解答。所以牛顿认为，我们的太阳、地球再加上月亮的系统是不稳定的。
模型无法预测三体各体当前状态 也许世界本需结构开来才可以描述 1900年，慧眼如炬的数学家希尔伯特在他的演讲中提出了23个困难的数学问题及两个典型例子，第一个例子是费马大定理，第二个就是N体问题的特例——三体问题。1995年，费马大定理终于得以解决，但三体问题仍然是数学天空的一朵乌云，始终挥之不去。
对于三体问题得出的初始数值解，一开始只有极小的误差，但在时间的推移下，这个误差会被逐渐放大。当时间趋于无穷时，数字“龙卷风”早就不知道将三体轨道刮向何处了。三体轨道的长时间行为的不确定性，就被称为混沌现象
传到民间，这个结果经常被误解为“三体问题无解”，专业一点的说法是“无精确解”或“无解析解”。
1772年发表于论文《三体问题》中，即如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。这个推论的结果是得到五个平动点，又称拉格朗日点，在天体力学中是平面圆型限制三体问题的五个特解
这五个拉格朗日点中只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的干扰，仍然有保持在原来位置处的倾向
小行星“阿基里斯”的出现，让睿智的科学家马上联想到这很可能是三体问题中的一个特例，一番寻觅之后，天文学家很快就在木星之后60°的位置上发现了“阿基里斯”的小伙伴。迄今为止，已有700颗小行星在木星前后这两个拉格朗日点上被找到，这些处在拉格朗日点上的小行星都以特洛伊战争里的英雄命名，并有一个集体称号：特罗央群小行星。特罗央实际上就是古希腊神话中小亚细亚的特洛伊城。
在2009年1月3日18点15分，比特币世界的第一个区块（block）被创建。 这一天被比特币信徒称为“创世日”，而这个区块也被称为“创世块”，中本聪则成了“创世主”。这一天标志着比特币的诞生！
他告诉我们：1+1≠2，在计算机代码的世界里，1+1=10。
毕达哥拉斯信奉“万物皆数”，但这里的数是指有理数。他认为宇宙万物都应该由有理数来统治，这是教派深信不疑的准则。然而，由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理，最终却让他成为教派信仰的“掘墓人”
教派中名为希帕索斯的弟子因为发现了“无理数”的存在，触犯了“有理数统治世界”的教规，众目睽睽之下，被扔到了深海里活活淹死。
6 非欧几何：又称非欧几里得几何，指不同于欧几里得几何学的几何体系，一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何（椭圆几何）。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
这猜想就像一只会孵金蛋的鹅，一直从17世纪孵到了20世纪，直接贯穿了人类近现代数学史，并成功地为“民科”费马赢得了“业余数学家之王”的称号
即使是到1985年，人类甚至已经发明了超级计算机，证明在4100万次方以下费马猜想都成立，但那又如何，再在后面加一个1，那个数字对于费马猜想是否成立？
当他还在世时，有人问他为什么不证明费马猜想，他曾反问：“为什么要干掉那只下金蛋的老母鸡呢？”在他看来，费马猜想为人类数学界立下了汗马功劳，很多数学家在证明费马猜想时创立了许多新的数学理论。现在怀尔斯这个“凶手”干掉了这只“母鸡”，不知道希尔伯特作何感想。
会发现引入有限域上的椭圆曲线图3-2基本已面目全非，原本连续光滑曲线上的无限个点变成了离散的点，不过依然可以看到它是关于某条水平直线对称的。而这正符合密码学所要求的有限点和精确性。
椭圆曲线通常用E表示，常用于密码系统的基于有限域GF(p)上的椭圆曲线是由方程： 所确定的所有点(x, y)组成的集合，外加一个无穷远点O。其中a，b，x， y均在GF(p)上取值，且有4 a 3+27 b 2 ≠0 ，p是大于3的素数。通常用Ep(a, b)来表示这类曲线。
17世纪后，我们用微积分推广出了卷积 6、叠积的概念，从此有了无线电。 19世纪初，我们用微积分发明了傅里叶级数 7、傅里叶变换 8等概念，从此有了现代电子技术和通信技术。 随后，我们又用微积分发明了拉普拉斯变换 9，从此有了控制工程 10。
甚至连莱布尼茨都曾向他的保护人公爵夫人苏菲这样描述过微分方程：“我的女王，无穷小的用处无限广阔，我们可以用它来计算飘零落叶的轨迹，计算莱茵河畔竖琴声的和谐振动，计算你影子在夕阳下弯曲的度数……”
1666年，牛顿在剑桥读书，正值“黑死病 2”横行，两个月内致使5万人死亡，吓得22岁的牛顿赶紧躲回乡下老家。乡下的生活平静而踏实，不似在城里那么忙碌，牛顿就坐在苹果树下深度冥想。在短短的18个月内，他思考数学问题、进行光学实验、计算星体轨道、探索引力之谜……牛顿生平最重要的几项成就都在这一年半的时间内完成。他在日记里写道：“那时我正处于发明创造的高潮，我对数学与哲学的关注超过了那以后的任何时候。”后来，1666年也被称为牛顿的奇迹年。
杨振宁的规范场论建立了当代粒子物理的标准模型，它的基础就是群论中的李群 2和李代数，专门描述物理上的对称性。